Question

等腰梯形ABCD的兩底分別為AB=10，CD=4，兩腰AD=CB=5，動點(diǎn)P由B點(diǎn)沿折線BCDA向A運(yùn)動，設(shè)P點(diǎn)所經(jīng)過的路程為x，三角形ABP的面積為S
（1）求函數(shù)S=f（x）的解析式；
（2）試確定點(diǎn)P的位置，使△ABP的面積S最大．

Answer 1

分析：（1）先作出所需輔助線：過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，再分類討論求出：在當(dāng)x∈（0，5]時，當(dāng)x∈（5，9]時，當(dāng)x∈（9，14]時，函數(shù)S=f（x）表達(dá)式即可；
（2）分類討論：當(dāng)x∈（0，5]時，當(dāng)x∈（5，9]時，當(dāng)x∈（9，14]時，分別求出各個區(qū)間上的最大值，最后綜合即得，△ABP的面積S最大值即可．

解答：解（1）過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，
在△BEC中，CE=

52-32

=4，∴sinB=

4

5

．
由題意，當(dāng)x∈（0，5]時，過P點(diǎn)作PF⊥AB于F，
∴PF=xsinB=

4

5

x，∴S=

1

2

×10×

4

5

x=4x，
當(dāng)x∈（5，9]時，∴S=

1

2

×10×4=20．
當(dāng)x∈（9，14]時，AP=14-x，PF=AP•sinA=

4(14-x)

5

，
∴S=

1

2

×10×（14-x）×

4

5

=56-4x．綜上可知，
函數(shù)S=f（x）=

4x x∈(0，5] 20 x∈(5，9] 56-4x x∈(9，14]

（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，5]時，f（x）=4x為增函數(shù)，
所以，當(dāng)x=5時，取得最大值20．
當(dāng)x∈（5，9]時，f（x）=20，最大值為20．當(dāng)x∈（9，14]時，f（x）=56-4x為減函數(shù)，無最大值．
綜上可知：當(dāng)P點(diǎn)在CD上時，△ABP的面積S最大為20．

點(diǎn)評：本小題主要函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．