Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F，求證：PF=

1

3

PB．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標系，利用EF⊥PB和F在PB上，得到向量垂直和共線，得到F的坐標，進一步得到

PF

=

1

3

PB

，從而得證．

解答： 證明：建立坐標系如圖：
設(shè)正方體棱長為1，則P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，

1

2

，

1

2

），設(shè)F（a，b，c），
所以

PB

=（1，1，-1），

EF

=（a，b-

1

2

，c-

1

2

），

PF

=（a，b，c-1），
由EF⊥PB，以及F在PB上，得

EF

•

PB

=0，并且

PF

=λ

PB

，
所以a+b-c=0并且a=b=1-c，解得a=b=

1

3

，c=

2

3

，
所以

PF

=（

1

3

，

1

3

，-

1

3

），所以

PF

=

1

3

PB

，
所以PF=

1

3

PB．

點評：本題考查了利用向量垂直和共線得到平面幾何中線段關(guān)系，體現(xiàn)了向量的工具性．