如圖已知四棱錐P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°且AB∥CD，AB=CD.

（1）點(diǎn)F在線段PC上運(yùn)動，且設(shè)=λ,問當(dāng)λ為何值時，BF∥平面PAD？并證明你的結(jié)論；

（2）二面角F—CD—B為45°，求二面角B—PC—D的大�。�

（3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=3，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

解:（1）當(dāng)λ=1時，BF∥平面PAD.

證明：取PD中點(diǎn)E，則EF∥CD，

且EF=CD,又AB∥CD且AB=CD,

∴四邊形ABFE為平行四邊形.

∴BF∥AE.又AE平面PAD,

∴BF∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,

CD⊥PD,∠PDA即是二面角的平面角∠PDA=45°，

∴△PAD為等腰直角三角形，∴AE⊥PD,∵CD⊥AD,∴AE⊥CD,

∴AE⊥平面PCD.

又BF∥AE，

∴BF⊥平面PCD.∵BF平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小為90°.

（3）在平面PCD內(nèi)作EH⊥PC于點(diǎn)H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD∩平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.

在Rt△PCD中,PC=,

在Rt△PEF 中，EH·PF=PE·EF，將PE=,PF=,EF=代入得

EH=.即點(diǎn)E到平面PBC的距離為.

又∵AE∥BF,∴AE∥平面PBC,

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=PA=2，PD=2
2
，PB=
7
．
（Ⅰ）證明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅲ）設(shè)二面角P-BD-A的大小為θ，求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=AB=AD=a，PB=PD=
2
a，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PD∥面EAC；
（Ⅱ）求證：面PBD⊥面PAC；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)H滿足FH∥面EAC？若存在，請指出點(diǎn)H的具體位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•廣東模擬）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形．E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）若E是PC的中點(diǎn)，且五點(diǎn)A，B，C，D，E在同一球面上，求該球的表面積．

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