Question

數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)λ使{

an+λ

3n

}為等差數(shù)列，求λ的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}滿足遞推式分別取n=2，3，利用遞推思想能求出a₂，a₃的值．
（Ⅱ）設(shè)

an+λ

3n

=xn+y，從而得到an=(xn+y)•3n-λ，由a₁=5，a₂=23，a₃=95，利用待定系數(shù)法能求出λ的值及{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，利用錯(cuò)位相減法能求出{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5，
∴a2=3×5+32-1=23，
a3=3×23+33-1=95．
（Ⅱ）∵{

an+λ

3n

}為等差數(shù)列，∴設(shè)

an+λ

3n

=xn+y，
∴an=(xn+y)•3n-λ，
又由a₁=5，a₂=23，a₃=95，
知

5=a1=(x+y)•3-λ 23=a2=(2x+y)•9-λ 95=a3=(3x+y)•27-λ

，解得λ=-

1

2

，x=1，y=

1

2

，
∴an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
∵an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
∴λ=

1

2

．
（Ⅲ）∵an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，
記Tn=(1+

1

2

)•31+(2+

1

2

)•32+…+(n+

1

2

)•3n，①
∴3Tn=(1+

1

2

)•32+(2+

1

2

)•32+…+(n+

1

2

)•3n+1，②
-2T_n=

9

2

+32+33+…+3n-(n+

1

2

)•3n+1
=

9

2

+

32(1-3n-1)

1-3

-（n+

1

2

）•3ⁿ⁺¹
=-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=

1

2

n•3n+1，
∴{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=Tn+

n

2

=

n

2

(3n+1+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．