Question

如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，且BD=2OC．若OA=2，∠AOB=120°，則

MC

•

MD

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．則A（2，0），B（-1，

3

），M(1，

3

)．設(shè)C（x，0），（0≤x≤1）．由BD=2OC，可得OD=2-2x．得到D(x-1，

3

-

3

x)．再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則A（2，0），B（-1，

3

），M(1，

3

)．
設(shè)C（x，0），（0≤x≤1）．
∵BD=2OC，
∴OD=2-2x．
∴D(x-1，

3

-

3

x)．
∴

MC

=（x-1，-

3

），

MD

=(x-2，-

3

x)．
∴

MC

•

MD

=（x-1）（x-2）+3x=x²+2，
∵0≤x≤1，∴2≤x²+2≤3．
∴

MC

•

MD

的取值范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．