Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線(xiàn)與圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

【解析】試題分析: （1）圓心到切線(xiàn)距離等于半徑得，即，再根據(jù)離心率，解得，（2）由以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，得，設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化條件得，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得，，代入條件并化簡(jiǎn)得.

試題解析:（1）因?yàn)橹本�(xiàn)：與圓相切，

∴，

∴，

∵橢圓的離心率，

∴，

∴，

∴所求橢圓的方程是.

（2）直線(xiàn)代入橢圓方程，消去可得：

∴，∴或，

設(shè)，則有，，

若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，

∵，，

∴

∴

∴，

解得，

所以存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).