Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且短半軸b=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，P是橢圓上動點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）求

PF1

•

PF2

取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且短半軸b=1，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓方程．
（Ⅱ）用坐標(biāo)表示向量，再利用數(shù)量積公式，即可求

PF1

•

PF2

取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且短半軸b=1，
∴

c

a

=

a2-1

a

=

2

2

，∴a=

2

，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴

PF1

=（-1-x，-y），

PF2

=（1-x，-y），
∴

PF1

•

PF2

=x²-1+y²=

x2

2

∈[0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查余弦定理的運(yùn)用，考查向量數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．