Question

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，用分點(diǎn)T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b，將區(qū)間[a，b]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，若存在常數(shù)M，使

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否為有界變差函數(shù)，并說明理由；
（2）定義在[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）是否一定為有界變差函數(shù)？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：存在常數(shù)k，使得對(duì)于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)f（x）在[-π，π]上是增函數(shù)，利用函數(shù)在[-π，π]上是增函數(shù)，去掉絕對(duì)值，將連和符號(hào)用函數(shù)值的和表示出，求出值為，取M大于等于此值，讓其滿足有界變差函數(shù)的定義；
（2）利用函數(shù)為減函數(shù)，將連和符號(hào)中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，將連和用函數(shù)值的差表示出，求出連和的值，將M取此值，滿足有界變差函數(shù)的定義．
（3）利用已知不等式，將函數(shù)值差的連和表示成自變量差的連和，去掉絕對(duì)值，將連和寫成自變量差的和形式，求出連和的值，找到M，滿足有界變差的定義；

解答：解：（1）可得f′（x）=1-sinx≥0，x∈[-π，π]，
所以f（x）=x+cosx為區(qū)間[-π，π]上的單調(diào)增函數(shù)，
故當(dāng)x_i-1＜x_i時(shí)，總有f（x_i-1）＜f（x_i），
此時(shí)，

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]=f（x_n）-f（x₀）=f（π）-f（-π）=2π．
所以函數(shù)f（x）=x+cosx在[-π，π]上為有界變差函數(shù)；        …（5分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為區(qū)間[-π，π]上的單調(diào)函數(shù)，
所以當(dāng)x_i-1＜x_i時(shí)，總有f（x_i-1）＜f（x_i）（或f（x_i-1）＞f（x_i）），…（7分）
故

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=|

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]|=|f（x_n）-f（x₀）|=|f（b）-f（a）|．
故存在常數(shù)M=|f（b）-f（a）|，使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以定義在[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）為有界變差函數(shù)；        …（10分）
（3）因?yàn)榇嬖诔��?shù)k，使得對(duì)于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．
所以

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤

n

i=1

|x_i-x_i-1|=k（b-a）．                 …（14分）
故存在常數(shù)M=k（b-a），使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．                      …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義函數(shù)為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，有一定的難度，判斷一個(gè)函數(shù)是否是有界變差函數(shù)，關(guān)鍵是求出函數(shù)差的連和，找出M．