Question

已知f（x）=2mx+m²+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x₁|+|x₂|=1，則

f(x1)

f(x2)

的取值范圍是

[1-

2

2

，2+

2

]

．

Answer 1

分析：（i）法一：目標(biāo)函數(shù)法：①分類討論去絕對值找x₁，x₂的關(guān)系．②將

f(x1)

f(x2)

化為一個變量的函數(shù)g（x₂）．
（ii）法二：數(shù)形結(jié)合：①“數(shù)”難時，要考慮“形”．②C：|x₁|+|x₂|=1為正方形．③“分式”聯(lián)想到斜率．

解答：解：解法一：
先考慮0≤x₁≤1，0≤x₂≤1的情形，
則x₁+x₂=1

f(x1)

f(x2)

=

2mx1+m2+2

2mx2+m2+2

=

2m(1-x2)+m2+2

2mx2+m2+2

=-1+

m+1+ 2 m

x2+ m 2 + 1 m

當(dāng)m＞0，令函數(shù)g（x）=-1+

m+1+ 2 m

x+ m 2 + 1 m

，x∈[0，1]，
由單調(diào)性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，g(1)=1-

2

m+ 2 m +2

≥2-

2

，g(0)=1+

2

m+ 1 m

≤1+

2

2

當(dāng)m＜0，同理．x₁、x₂在其他范圍同理．
綜上可得[1-

2

2

，2+

2

]．
解法二：

f(x1)

f(x2)

=

2mx1+m2+2

2mx2+m2+2

=

x1+ m2+2 2m

x2+ m2+2 2m

，∴

f(x1)

f(x2)

為點P(-

m2+2

2m

，-

m2+2

2m

)與點Q（x₂，x₁）連線的斜率．P點在直線y=x(|x|≥

2

)上．
由圖可得直線PQ斜率的范圍，即

f(x1)

f(x2)

的范圍．

點評：熟練掌握分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法、函數(shù)的單調(diào)性、直線的斜率公式及意義是解題的關(guān)鍵．