Question

已知在（

x

-

2

3 x

）ⁿ的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56：3．
（1）求展開式中的所有有理項；
（2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項．
（3）求n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）由

C

4 n

•(-2)4：

C

2 n

•(-2)2=56：3，解得n=10，可得T_r+1=

C

r 10

•（-2）^r•x5-

5r

6

，當(dāng)5-

5r

6

為整數(shù)，r可取0，6，由此可得展開式中的有理項．
（2）設(shè)第r+1項系數(shù)絕對值最大，則

C r 10 •2r ≥C r 10 •2r-1 C r 10 •2r ≥C r+1 10 •2r+1

，由此解得r的值，可得系數(shù)絕對值最大的項．
（3）利用二項式定理化簡n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

  為

9 •C 1 10 +92 •C 2 10 +93 •C 3 10 +…+910 •C 10 10

9

，即

(1+9)10-1

9

，計算可得結(jié)果．

解答： 解：（1）由第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是

C

4 n

•(-2)4：

C

2 n

•(-2)2=56：3，解得n=10．
因為通項：T_r+1=

C

r 10

•（-2）^r•x5-

5r

6

，當(dāng)5-

5r

6

為整數(shù)，r可取0，6，于是有理項為T₁=x⁵和T₇=13400．
（2）設(shè)第r+1項系數(shù)絕對值最大，則

C r 10 •2r ≥C r 10 •2r-1 C r 10 •2r ≥C r+1 10 •2r+1

．
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能為7．
所以系數(shù)絕對值最大的項為T₈=-15360x-

5

6

．
（3）n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

=10+9

C

2 10

+9²•

C

2 10

+…+9^10-1•

C

10 10

=

9 •C 1 10 +92 •C 2 10 +93 •C 3 10 +…+910 •C 10 10

9

=

(1+9)10-1

9

=

1010-1

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．