Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=，f（+）=，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得：
f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²
=cos2x-sin2x+（1+sin2x）
=cos2x+
所以函數(shù)f（x）的最大值為1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=cos（+C）+=-sinC+=，
所以sinC=，
因?yàn)镃為銳角，所以C=，
又因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB=，所以 sinB=，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．
分析：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=cos2x+，所以函數(shù)f（x）的最大值為1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=sinC+=，進(jìn)而求出C=，由題意可得：cosB=，所以 sinB=，結(jié)合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和與差的正弦余弦公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．