已知：函數(shù)f(x)=
2
(sinx-cosx)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點(α，
6
5
)，
π
4
＜α＜
3π
4
．求f(
π
4
+α)的值．
（1）f(x)=
2
(sinx-cosx)=2(sinx•
2
2
-cosx•
2
2
)=2sin(x-
π
4
)---（3分）
∴函數(shù)的最小正周期為2π，值域為{y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依題意得：2sin(α-
π
4
)=
6
5
，sin(α-
π
4
)=
3
5
，
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴0＜α-
π
4
＜
π
2
，∴cos(α-
π
4
)=
1-sin2(α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5
f(
π
4
+α)=2sin[(α-
π
4
)+
π
4
]
∵sin[(α-
π
4
)+
π
4
]=sin(α-
π
4
)cos
π
4
+cos(α-
π
4
)sin
π
4
=
2
2
(
3
5
+
4
5
)=
7
2
10

∴f(
π
4
+α)=
7
2
5

解法2：依題意得：sin(α-
π
4
)=
3
5
，得sinα-cosα=
3
2
5
----①
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴0＜α-
π
4
＜
π
2
，∴cos(α-
π
4
)=
1-sin2(α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5

由cos(α-
π
4
)=
4
5
得sinα+cosα=
4
2
5
-----------②
①+②得2sinα=
7
2
5
，∴f(
π
4
+α)=
7
2
5

解法3：由sin(α-
π
4
)=
3
5
得sinα-cosα=
3
2
5
，
兩邊平方得，1-sin2α=
18
25
，sin2α=
7
25
，
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴
π
2
＜2α＜
3π
2
由sin2α=
7
25
＞0知
π
2
＜2α＜π
∴cos2α=-
1-sin22α
=-
24
25
，由cos2α=1-2sin2α，得sin2α=
1-cos2α
2
=
49
50

∴sinα=
7
2
10
∴f(
π
4
+α)=
7
2
5
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸方程是（　�。�
A．x=
5π
4
B．x=
3π
4
C．x=-
π
4
D．x=-
π
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=sin2x+asin（
π
2
-2x）的圖象關于直線x=-
π
8
對稱，則實數(shù)a的值為（　　）
A．-
2
B．
2
C．-1D．1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

函數(shù)y=tan(
π
4
x-
π
2
)的部分圖象如圖所示，則(
OA
+
OB
)•
AB
=______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)在一個周期內(nèi)的圖象，M、N分別是最大、最小值點，O為坐標原點且
OM
•
ON
=0，則A•ω的值為（　�。�
A．
π
6
B．
2
π
6
C．
7
π
6
D．
7π
12

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，（1）求的值；（2）若，求的值域.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若，則的最小值為           .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)的部

分圖象如圖所示，則的解析式是（   ）
   
A．
B．
C．
D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)最小值是(     )
A．-1B．C．D．1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案