Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（e，＋∞），遞減區(qū)間是（0，e）．（2）．

【解析】(1)當(dāng)m=-2時(shí)，解析式確定，可以求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大（�。┯诹悖�求出單調(diào)增（減）區(qū)間，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域.

(2) 當(dāng)m＝時(shí)，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．

由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥,

然后構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，極值，最大值即可.

（1）當(dāng)m＝－2時(shí)，f（x）＝x（ln x－2）＝xln x－2x，

定義域?yàn)椋?，＋∞），且f′（x）＝ln x－1.

由f′（x）>0，得ln x－1>0，所以x>e.由f′（x）<0，得ln x－1<0，所以0<x<e.

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（e，＋∞），遞減區(qū)間是（0，e）．

（2）當(dāng)m＝時(shí)，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．

由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥ .

令h（x）＝ ，則h′（x）＝，由h′（x）＝0得x＝1.

且當(dāng)0<x<1時(shí)，h′（x）>0；當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）<0，

即h（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減， 

所以h（x）在x＝1處取得極大值h（1）＝，也就是函數(shù)h（x）在定義域上的最大值．因此要使≥恒成立，需有≥， 的取值范圍為 ．