設(shè)直線(xiàn)L1:y=k1x+p,p≠0交橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)L2:y=k2x于點(diǎn)E.
(1)若E為CD的中點(diǎn),求證:k1k2=-
b2
a2
;
(2)寫(xiě)出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
(3)請(qǐng)你類(lèi)比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫(xiě)出雙曲線(xiàn)中類(lèi)似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).
(1)證明:設(shè)C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0),則
x12
a2
+
y12
b2
=1 (1)
,
x22
a2
+
y22
b2
=1 (2)

兩式相減得
(x1-x2)(x1+x2)
a2
+
(y1-y2)(y1+y2)
b2
=0

2x0(x1-x2)
a2
+
2y0(y1-y2)
b2
=0
…(3分)
k1=
y1-y2
x1-x2
=
-b2x0
a2y0
=-
b2
a2k2

k1k2=-
b2
a2
…(7分)
(2)逆命題:設(shè)直線(xiàn)L1:y=k1x+p交橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)L2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1k2=-
b2
a2
,則E為CD的中點(diǎn).…(9分)
證法一:由方程組
y=k1x+p
x2
a2
+
y2
b2
=1
?(b2+a2
k21
)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0
…(10分)
因?yàn)橹本(xiàn)L1:y=k1x+p交橢圓C、D于C、D兩點(diǎn),
所以△>0,即a2
k21
+b2-p2>0
,設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)、E(x0,y0
則∴x0=
x1+x2
2
=
-k1pa2
b2+a2
k21
y0=
y1+y2
2
=
pb2
b2+a2
k21
…(12分)
y=k1x+p
y=k2x
?
x=
p
k2-k1
y=k2x

又因?yàn)?span mathtag="math" >k1k2=-
b2
a2
,所以
x=
p
k2-k1
=
-a2k1p
b2+a2
k21
=x0
y=k2x=
b2p
b2+a2
k21
=y0
,故E為CD的中點(diǎn).…(14分)
證法二:設(shè)C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0
x12
a2
+
y12
b2
=1 (1)
x22
a2
+
y22
b2
=1 (2)

兩式相減得
(x1-x2)(x1+x2)
a2
+
(y1-y2)(y1+y2)
b2
=0

k1=
y1-y2
x1-x2
=
-b2•(x1+x2)
a2•(y1+y2)
…(9分)
又∵k1k2=-
b2
a2
 ,k2=
y0
x0
y1+y2
x1+x2
=
x0
y0
k1x1+p+k2x2+p
x1+x2
=
kx0+p
x0
…(12分)∴k1+
2p
x1+x2
=k1+
p
x0

得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0,即E為CD的中點(diǎn).…(14分)
(3)設(shè)直線(xiàn)L1:y=k1x+p,p≠0交雙曲線(xiàn)Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0 ,b>0)
于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)L2:y=k2x于點(diǎn)E.
則E為CD中點(diǎn)的充要條件是k1k2=
b2
a2
.…(16分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-a,b).
(1)若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b),B(a,0)滿(mǎn)足
PM
=
1
2
PA
+
PB
),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線(xiàn)l1:y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1•k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿(mǎn)足
PP1
+
PP2
=
PQ
,寫(xiě)出求作點(diǎn)P1、P2的步驟,并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M滿(mǎn)足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)
,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線(xiàn)l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過(guò)PQ中點(diǎn)F的直線(xiàn)l,使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿(mǎn)足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
?令a=10,b=5,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-8,-1),若橢圓Γ上的點(diǎn)P1、P2滿(mǎn)足
PP1
+
PP2
=
PQ
,求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)直線(xiàn)l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿(mǎn)足k1k2+2=0.證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)直線(xiàn)l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿(mǎn)足k1k2+1=0.
(Ⅰ)證明:直線(xiàn)l1與l2相交;
(Ⅱ)證明:直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)在圓x2+y2=1上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青浦區(qū)一模)設(shè)直線(xiàn)L1:y=k1x+p,p≠0交橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)L2:y=k2x于點(diǎn)E.
(1)若E為CD的中點(diǎn),求證:k1k2=-
b2
a2
;
(2)寫(xiě)出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
(3)請(qǐng)你類(lèi)比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫(xiě)出雙曲線(xiàn)中類(lèi)似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).

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