Question

已知橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個頂點．
（1）若點M滿足

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，求點M的坐標；
（2）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E．若k1•k2=-

b2

a2

，證明：E為CD的中點；
（3）設(shè)點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何構(gòu)作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P₁、P₂滿足

PP1

+

PP2

=

PQ

PP1

+

PP2

=

PQ

？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1），若橢圓Γ上的點P₁、P₂滿足

PP1

+

PP2

=

PQ

，求點P₁、P₂的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意知M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點，所以M(

a

2

，-

b

2

)．
（2）由題設(shè)條件得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，所以a²k₁²+b²-p²＞0是CD的中點；
（3）因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k₂，由

PP1

+

PP2

=

PQ

知F為P₁P₂的中點，由此可得P₁（-6，-4）、P₂（8，3）．

解答：解：（1）∵

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點，
∴M(

a

2

，-

b

2

)．
（2）由方程組

y=k1 x+p x2 a2 + y2 b2 =1

，
消y得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因為直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，
所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x₀，y₀），設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x₀，y₀），則

x0= a2k1p a2k12+b2 y0= b2p a2k12+b2

，
由方程組

y=k1 x+p y=k2 x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因為k2=-

b2

a2k1

，
所以

x= p x2-x1 =x0 y=k2x=y0

，
故E為CD的中點；
（3）因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，
所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k₂，
由

PP1

+

PP2

=

PQ

知F為P₁P₂的中點，
根據(jù)（2）可得直線l的斜率k1=-

b2

a2k2

，
從而得直線l的方程．F(1，-

1

2

)，
直線OF的斜率k2=-

1

2

，
直線l的斜率k1=-

b2

a2k2

=

1

2

，
解方程組

y= 1 2 x-1 x2 100 + y2 25 =1

，消y：x²-2x-48=0，
解得P₁（-6，-4）、P₂（8，3），或P₁（8，3）、P₂（-6，-4），．

點評：本題考查直線的圓錐曲線的綜合問題，解題時要注意公式的靈活運用．