正方體ABCD—EFGH的棱長為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a．

(1)求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；

(2)求證：PQ⊥AD．

 

答案：
解析：

(1)解：作PM上BC于M，連QM，

∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是．

∵AP=BQ，

∴GQ=CP,這樣可得，

∴QM∥GC．

∴GC⊥平面AC，∴QM⊥平面AC，

∠QPM是PQ與平面AC所成的角，

QM=BQ=a,MP=CP=(a-a)

=a，

∴tanQPM==．

(2)證明：上面已證MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC，

∴BC⊥MP，且BC⊥QM，

∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ，由AD∥Bc可知PQ⊥AD．

點(diǎn)評：(1)中求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值的過程是“作、證、算”，即先作出∠QPM，然后再證明∠QPM是PQ與平面ABCD所成角，最后再計算其正切值．(2)中證PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把證PQ⊥AD的問題轉(zhuǎn)化成了證明PQ⊥BC的問題．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，動點(diǎn)E、F在棱A1B1上．點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），則三棱錐P-EFQ的體積（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=
2
2
，則下列結(jié)論中錯誤的是
 
．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱錐A-BEF的體積為定值；
④異面直線AE，BF所成的角為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則異面直線C1O與EF的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是C1B1的中點(diǎn)，若E，F(xiàn)都是AB上的點(diǎn)，且|EF|=
a2
，Q是A1B1上的點(diǎn)，則四面體EFPQ的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=
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CD，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．
（1）求證：EF⊥B1C；
（2）求EF與C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的長．

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