Question

已知函數(shù)R，且
（I）若能表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，求的解析式；
（II）命題P：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
命題Q：函數(shù)是減函數(shù)。
如果命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，求a的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，比較的大小。

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：
（1）將表示成奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，分別求，所用知識(shí)僅為函數(shù)的奇偶性，但是函數(shù)將三個(gè)函數(shù)，的奇偶性綜合考察，出題者別具匠心，與以往單純考察單個(gè)函數(shù)的奇偶性有較大區(qū)別。（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，只需要二次函數(shù)對(duì)稱軸≤即可，為一次函數(shù)，單調(diào)性只和系數(shù)相關(guān)，解答滿足和的參數(shù)范圍，然后按照真、假和假、真求a的并集即可。（3）將帶入，看似與無(wú)關(guān)，但結(jié)合第二步結(jié)果，將a的值換成發(fā)現(xiàn)左右恰好相等，可以考慮右邊定值，左邊是函數(shù)在臨界情況下的結(jié)果，研究左邊表達(dá)式在情況下的值域問(wèn)題就可解決。
解答過(guò)程：（1）
 
解得……………………………………………4分
（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，
解得
又由函數(shù)是減函數(shù)，得
∴命題P為真的條件是：
命題Q為真的條件是：
又∵命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，…………………………………8分
（2）由（1）得

設(shè)函數(shù)
∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
又………………12分
考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)奇偶性，含參二次函數(shù)和一次函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性以及邏輯問(wèn)題。
點(diǎn)評(píng)：本題綜合程度較高，考察內(nèi)容靈活多變，除了第二步為常規(guī)思路解答。第一和第三步都值得認(rèn)真去研究它的方法和解題思路，本題作為壓軸題計(jì)算量不是很大，重要還是從本題中體現(xiàn)的方法值得深究。