Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4ax+2a+6
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負數(shù)，求g（a）=2-a|a-1|的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)的值域為[0，+∞），則判別式△=0，解方程即可得到；
（2）由于函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負數(shù)，則△=16a²-4（2a+6）≤0，解得a的范圍，化簡f（a），運用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到．

解答： 解：（1）由于函數(shù)的值域為[0，+∞），則判別式△=16a²-4（2a+6）=0，
解得a=-1或a=

3

2

；
（2）由于函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負數(shù)，
則△=16a²-4（2a+6）≤0，
解得-1≤a≤

3

2

，
則-2≤a-1≤

1

2

，
∴f（a）=2-a|a-1|=

a2-a+2，-1≤a≤1 -a2+a+2，1＜a≤ 3 2

，
①當-1≤a≤1時，f（a）=(a-

1

2

)2+

7

4

，f（

1

2

）≤f（a）≤f（-1），
∴

7

4

≤f（a）≤4，
②1＜a≤

3

2

時，f（a）=-(a-

1

2

)2+

9

4

，f（

3

2

）≤f（a）＜f（1），
∴

5

4

≤f（a）＜2，
綜上函數(shù)f（a）的值域為[

5

4

，4]．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的值域的求法，考查運用函數(shù)的單調(diào)性求值域，屬于中檔題和易錯題．