Question

如圖，已知A，B，C是表面積為48π的球面上的三點(diǎn)，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，則二面角O-AB-C的大小為：（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  4

• C、arccos

  3

  3

• D、arccos

  33

  11

Answer 1

分析：先求出球的半徑，BC的中點(diǎn)為O₁，取AB中點(diǎn)D，連OD、O₁D，則∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△OO₁D中求出此角即可．

解答：解：球的半徑為2

3

；△ABC為直角三角形，斜邊BC是其外接圓的直徑，
記BC的中點(diǎn)為O₁，則OO₁⊥面ABC，在Rt△OO₁B中，OB=2

3

，BO₁=2，
∴OO₁=2

2

；取AB中點(diǎn)D，連OD、O₁D，則AB⊥OD，AB⊥O₁D，
∴∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△ABC中O₁D=

1

2

AC=

3

故在Rt△OO₁D中，OD=

11

，cos∠ODO₁=

3

11

，∴∠ODO₁=arccos

33

11

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查球的表面積以及二面角的平面角及求法等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．