Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點Q到點F（1，0）與到直線x=4的距離之比為

1

2

．
（1）求點Q的軌跡方程E；
（2）若點A，B分別是軌跡E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點M是直線l上不同于點B的任意一點，直線AM交軌跡E于點P．
（�。┰O(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設(shè)過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點Q到點F（1，0）與到直線x=4的距離之比為

1

2

，建立方程，化簡可得點Q的軌跡方程E；
（2）（i）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點M的坐標(biāo)，利用斜率計算公式即可得出k₁，k₂，再利用點P在橢圓上即可證明；
（ii）利用直線的點斜式及其（i）的有關(guān)結(jié)論即可證明．

解答： （1）解：設(shè)Q（x，y），則
∵點Q到點F（1，0）與到直線x=4的距離之比為

1

2

，
∴

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，
化簡可得點Q的軌跡方程E：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）（�。┳C明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線AP的方程為：y=

y0

x0+2

（x+2）
令x=2得M（2，

4y0

x0+2

）
∴k₁=

2y0

x0+2

，
∵k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

2y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴k₁k₂═-

3

2

為定值．
（ⅱ）直線BP的斜率為k2=

y1

x1-2

，直線m的斜率為km=

2-x1

y1

，
則直線m的方程為y-y0=

2-x1

y1

(x-2)，
∴y=

2-x1

y1

（x-2）+y₀=

2-x1

y1

x-

2(2-x1)

y1

+

4y1

x1+2

=

2-x1

y1

（x+1），
∴直線m過定點（-1，0）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線的斜率的計算，熟練掌握斜率的計算公式及其直線的點斜式是解題的關(guān)鍵．