Question

【題目】若數(shù)列滿(mǎn)足條件：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切，都成立，則稱(chēng)數(shù)列為級(jí)等比數(shù)列；

（1）已知數(shù)列為2級(jí)等比數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為、、、，求的值；

（2）若（為常數(shù)），且數(shù)列是3級(jí)等比數(shù)列，求所有可能的值，并求取最小正值時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）證明：正數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是數(shù)列既為2級(jí)等比數(shù)列，也為3級(jí)等比數(shù)列；

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用定義，求出、，即可求的值；

（2）根據(jù) 是3級(jí)等比數(shù)列，列出方程，即可求所有可能值的集合，從而求取最小正值時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）根據(jù)數(shù)列為級(jí)等比數(shù)列的定義，分充分性與必要性進(jìn)行證明即可．

（1）解：由題意，

，

，

，

.

（2）解：是3級(jí)等比數(shù)列，

，

，

，

整理為： ，

即 ，，

，

的最小正值是，

此時(shí)， ，

，， ，

，

，

，

……..

（3）必要性：若為等比數(shù)列，則，

對(duì)一切成立，顯然對(duì)成立．

既為2級(jí)等比數(shù)列，也為3級(jí)等比數(shù)列．

充分性：若為2級(jí)等比數(shù)列，，則，均成等比數(shù)列，

設(shè)等比數(shù)列，的公比分別為，

為3級(jí)等比數(shù)列，，則 成等比數(shù)列，設(shè)公比為

既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，

，既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，

，

，

設(shè)，則

，

，，

又， ，

， ，，

， ，

綜合得：,顯然為等比數(shù)列．