Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù) .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）；（3）見解析.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。那么利用先求函數(shù)定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)的單調(diào)性

第二問中，當(dāng)p=1時，f(x)《kx恒成立等價于1+lnx《kx,然后分離參數(shù)的思想得到k》(1+lnx)/x,構(gòu)造函數(shù)得到參數(shù)k的范圍。

第三問中，要證明不等式成立，則需要分析由（2）知當(dāng)k=1時，有f(x)《x，當(dāng)x>>1時，f(x)《x即lnx<x-1，結(jié)合放縮法得到證明。

解：（1）的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞增；

當(dāng)時，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)遞減；……………2分

當(dāng)-1＜＜0時，令=0，解得.

則當(dāng)時，＞0；時，＜0.

故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. …………4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070910512692135975/SYS201207091052229057110522_DA.files/image013.png">，所以

當(dāng)時，恒成立

令，則,               ……………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070910512692135975/SYS201207091052229057110522_DA.files/image019.png">，由得，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以在上遞增，在上遞減.所以，

故                               ……………………8分

（3）由（2）知當(dāng)時，有，當(dāng)時，即，

令，則，即      …………10分

所以，，…，，

相加得

而

所以，.……………………12分