Question

12．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且對(duì)一切的正整數(shù)n，均有：（n+1）a_n+1-na_n²+（n+1）a_na_n+1-na_n=0，則數(shù)
列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由$（n+1）{a_{n+1}}-na_n^2+（n+1）{a_n}{a_{n+1}}-n{a_n}=0$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，再利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：由$（n+1）{a_{n+1}}-na_n^2+（n+1）{a_n}{a_{n+1}}-n{a_n}=0$，
∴（n+1）a_n+1（1+a_n）-na_n（1+a_n）=0，
∴（1+a_n）[（n+1）a_n+1-na_n]=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
則$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}…\frac{a_2}{a_1}=\frac{n-1}{n}•\frac{n-2}{n-1}…\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
故答案為：$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．