Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A求橢圓的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直線l和橢圓交于M，N兩個(gè)不同點(diǎn)，求△CMN面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，左頂點(diǎn)A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．a(chǎn)²=12，C（）再由C在橢圓上知b²=4，由此能導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，設(shè)直線l的方程為y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，由題設(shè)條件能導(dǎo)出|MN|==，又C到直線l的距離d==，所以△CMN的面積S===2，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∵左頂點(diǎn)A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．
∴a²=12，C（），（第三象限的點(diǎn)相同，可以不考慮）（2分）
又∵C在橢圓上，∴，∴b²=4，（4分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，
則設(shè)直線l的方程為y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，（6分）
（7分）
∴|MN|==，（8分）
又C到直線l的距離d==，（9分）
∴△CMN的面積S==（10分）
=2，（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)m²=16-m²時(shí)取等號(hào)，此時(shí)m=滿足題中條件，（12分）
∴直線l的方程為．（13分）
當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，由對(duì)稱可知：直線l的方程為（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．