Question

.已知拋物線y²=4x（x＞0），是否存在正數m，對于過點（m，0）且與拋物線有兩個交點A，B的任一直線都有

FA

•

FB

＜0？若存在求出m的取值范圍，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先由于過點M（m，0）的直線與開口向右的拋物線有兩個交點A、B，則設該直線的方程為x=ty+m（包括無斜率的直線）；然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進而通過消元轉化為一元二次方程；再根據韋達定理及向量的數量積公式，實現

FA

•

FB

＜0的等價轉化；最后通過m、t的不等式求出m的取值范圍．

解答： 解：設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設l的方程為x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，①
又

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），
∵

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

1

4

y²，于是不等式②等價于

1

4

y₁²•

1

4

y₂²+y₁y₂-（

1

4

y₁²+

1

4

y₂²）+1＜0
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜4t²④
對任意實數t，4t²的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

由此可知，存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有有

FA

•

FB

＜0，且m 的取值范圍是（3-2

2

，3+2

2

）

點評：本題著重考查了一元二次方程根與系數的關系、直線與拋物線的位置關系和向量數量積運算等知識，同時考查了邏輯思維能力、計算能力和轉化化歸的數學思想等知識，屬于中檔題．