Question

已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且|

MN

|≤1，則

OM

•

ON

的取值范圍是

[2-

2

，2)

．

Answer 1

分析：由條件可得

OM

•

ON

≥

OM 2+ ON 2- 1

2

，求出

OM

2+

ON

2的最小值 和最大值，從而求得

OM

•

ON

的最小值．當(dāng)

OM

和 

ON

的模最大且夾角最小時(shí)，

OM

•

ON

 最大，故當(dāng)M、N和點(diǎn)C重合時(shí)，

OM

•

ON

最大等于2，
再由點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，可得

OM

•

ON

的最大小于2，從而得到

OM

•

ON

 的范圍．

解答：解：由題意可得

MN

2=(

ON

-

OM

)2=

OM

2+

ON

2-2

OM

•

ON

≤1，
∴

OM

•

ON

≥

OM 2+ ON 2- 1

2

．
設(shè)CM=x，CN=y，則 MN²=x²+y²≤1．

OM

2+

ON

2=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示單位圓面（x²+y²≤1 ）上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，1）連線的距離的平方加上2，
故其最小值為(

2

-1)2+2=5-2

2

，最大值為(

2

+1)2+2=5+2

2

．
故

OM

•

ON

 的最小值等于

OM 2+ ON 2- 1

2

=

5-2 2 -1

2

=2-

2

．
又當(dāng)

OM

和 

ON

的模最大且夾角最小時(shí)，

OM

•

ON

 最大，
故當(dāng)M、N和點(diǎn)C重合時(shí)，

OM

•

ON

最大等于

2

•

2

=2，
再由點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，可得

OM

•

ON

的最大小于2．
故

OM

•

ON

 的范圍為[2-

2

，2）．
故答案為[2-

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，本題屬于中檔題．