Question

已知中心為O的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N分別為線(xiàn)段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由條件可得 ≥，求出的最小值 和最大值，從而求得的最小值．當(dāng)和 的模最大且?jiàn)A角最小時(shí)， 最大，故當(dāng)M、N和點(diǎn)C重合時(shí)，最大等于2，
再由點(diǎn)M、N分別為線(xiàn)段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，可得的最大小于2，從而得到 的范圍．
解答：解：由題意可得==-2≤1，
∴≥．
設(shè)CM=x，CN=y，則 MN²=x²+y²≤1．
=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示單位圓面（x²+y²≤1 ）上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，1）連線(xiàn)的距離的平方加上2，
故其最小值為+2=5-2，最大值為+2=5+2．
故 的最小值等于==2-．
又當(dāng)和 的模最大且?jiàn)A角最小時(shí)， 最大，
故當(dāng)M、N和點(diǎn)C重合時(shí)，最大等于•=2，
再由點(diǎn)M、N分別為線(xiàn)段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，可得的最大小于2．
故 的范圍為[2-，2）．
故答案為[2-，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，本題屬于中檔題．