Question

已知B₁（0，1），B₂（0，-1），M（1，0），動點(diǎn)P（x，y）滿足直線PB₁，PB₂的斜率之積為-

1

4

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C與x軸的左，右兩個交點(diǎn)分別為A₁，A₂，過點(diǎn)M作直線l和軌跡C分別交于點(diǎn)D₁，D₂．
（�。┣笞C：直線A₁D₁，A₁D₂的斜率之積為定值；
（ⅱ）設(shè)直線A₁D₁，A₂D₂的交點(diǎn)為S，求證：點(diǎn)S在定直線上，并求出該定直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)斜率公式，利用動點(diǎn)P（x，y）滿足直線PB₁，PB₂的斜率之積為-

1

4

，可得點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）（�。┰O(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出相應(yīng)的斜率，即可證得結(jié)論；
（ⅱ）求出直線A₁D₁，A₂D₂的方程，令函數(shù)值相等，即可證得點(diǎn)S在定直線上，并求出該定直線的方程．

解答：（1）解：由題意，

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，即

x2

4

+y2=1（x≠0）
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程是

x2

4

+y2=1（x≠0）；
（2）證明：（�。┯深}意，A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)l方程為x=my+1，代入

x2

4

+y2=1，整理可得（m²+4）y²+2my-3=0
設(shè)D₁（x₁，y₁），D₂（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

∴x₁+x₂=

8

m2+4

，x₁x₂=-

4m2-4

m2+4

∴直線A₁D₁，A₁D₂的斜率之積為

y1

x1+2

×

y2

x2+2

=

y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

- 3 m2+4

- 4m2-4 m2+4 + 16 m2+4 +4

=-

1

12

；
（ⅱ）由（ⅰ）知，y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

直線A₁D₁的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，直線A₂D₂的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)
下面求直線A₁D₁，A₂D₂的交點(diǎn)S的橫坐標(biāo)
令

y1

x1+2

(x+2)=

y2

x2-2

(x-2)，則

x+2

x-2

=

y2

x2-2

×

x1+2

y1

=

my1y2+3y2

my1y2-y1

=3
∴x=4，即點(diǎn)S在定直線上，該定直線的方程為x=4．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．