Question

已知函數(shù)f(x)=

2x2+1

(x＞0)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，當n≥2時，a_n=f（a_n-1）
（1）求a_n； 
（2）若bn=

2n

an+an+1

，若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

bn•Sn

(an)2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=f（a_n-1），可得a_n²+1=2（a_n-1²+1），從而可知{a_n²+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故可求a_n；      
（2）由（1）可得bn=

2n+1-1

-

2n-1

，從而S_n=b₁+b₂+…+b_n=

2n+1-1

-1，故可求極限．

解答：解：（1）∵a_n=f（a_n-1）
∴a_n²+1=2（a_n-1²+1）
∴{a_n²+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n²+1=2ⁿ
∴an=

2n-1

（2）∵bn=

2n

an+an+1

∴bn=

2n+1-1

-

2n-1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

2n+1-1

-1
∴

lim

n→∞

( 2n+1-1 - 2n-1 )• ( 2n+1-1 -1)

(  2n-1 )2

=2-

2

點評：本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項，考查疊加法求和，考查了數(shù)列的極限，綜合性強．