Question

已知A（-1，2）為曲線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A，且與曲線C相切，
直線l₂：x=a（a＞-1）交曲線C于B，交直線l₁于點D．
（Ⅰ） 求直線l₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)△BAD的面積為S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 設(shè)由曲線C，直線l₁，l₂所圍成的圖形的面積為S₂，求證S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=-1時的導(dǎo)數(shù)，由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與直線方程、直線與拋物線方程求得B，D的坐標(biāo)，代入三角形面積公式得答案；
（Ⅲ）由定積分的幾何意義求得S₂的值，直接作比得答案．

解答： （Ⅰ）解：由y=2x²得：y'=4x，當(dāng)x=-1時，y'=-4，

∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2；
（Ⅱ）解：聯(lián)立

y=2x2 x=a

，得B點坐標(biāo)為（a，2a²）．
由

x=a 4x+y+12=0

，得D點坐標(biāo)（a，-4a-2）．
點A到直線BD的距離為a+1，（a＞-1）．
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²，
∴S1=(a+1)3；
（Ⅲ）證明：S1=(a+1)3，
S2=

∫

a -1

[2x2-(-4x-2)]dx
=

∫

a -1

(2x2+4x+2)dx=(

2

3

x3+2x2+2x)

|

a -1

=

2

3

(a+1)3．
∴S1：S2=

3

2

．
綜上可知S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是

3

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了定積分，訓(xùn)練了微積分基本定的應(yīng)用，關(guān)鍵是會求基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是壓軸題．