Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一條漸近線平行于直線l：y=-2x-10，雙曲線的一個焦點在直線l上，雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$
• B． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{100}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$

Answer 1

分析 先求出焦點坐標，利用雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得$\frac{a}$=2，結合c²=a²+b²，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線的一個焦點在直線l上，
令y=0，可得x=-5，即焦點坐標為（-5，0），∴c=5，
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一條漸近線平行于直線l：y=-2x-10，
∴$\frac{a}$=2，
∵c²=a²+b²，
∴a²=5，b²=20，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．