Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

5

，設M是PC上的一點．
（1）求V_P-ABCD；
（2）求PB與平面ABCD所成的角；
（3）求證：平面MBD⊥平面PAD．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先對面面垂直轉化出線面垂直進一步求出錐體的高，及錐體的底面積，進一步求出錐體的體積．
（2）利用（1）的線面垂直，首先確定線面的夾角進一步利用所給的條件求出夾角的大�。�
（3）直接根據(jù)線面垂直的判定，進一步轉化出面面垂直．

解答： 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
連接BD，過P點做PE⊥AD，
所以：PE⊥平面ABCD．
△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，
所以：AD=4，
進一步求得：PE=2

3

，
在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC=4

5

，AD=4
所以：AD²+BD²=AB²
則：△ABD是直角三角形．
設△ABD的高為h，利用面積相等，
AD•BD=AB•h
解得：h=

8 5

5

所以：VP-ABCD=

1

3

S梯形ABCD•PE
=16

3

（2）由（1）得：PE⊥平面ABCD
所以：PB與平面ABCD所成的角
即∠PBE就是所求．
在△BDE中，連接BE，BE=

AD2+BD2

解得：BE=2

17

所以：tan∠PBE=

PE

BE

=

51

17

所以PB與平面ABCD所成的角為：arctan

51

17

證明：（3）已求得AD²+BD²=AB²
所以：AD⊥BD
PE⊥平面ABCD
BD?平面ABCD
所以：PE⊥BD
則：BD⊥平面PAD．
由于BD?平面MBD
所以：平面MBD⊥平面PAD

點評：本題考查的知識要點：線面垂直與面面垂直之間的轉化，棱錐的體積的運算，線面夾角的應用，勾股定理逆定理及相關的運算問題．屬于基礎題型．