Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 設(shè)b_n=

2

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）①．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②，兩式相減，得出數(shù)列的遞推關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）  b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)裂項(xiàng)后求和，

解答：解：（Ⅰ）S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）①．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-（n-1）×2
移向，兩邊同除以n-1得出a_n-a _n-1=2
所以數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，
通項(xiàng)公式為a_n=a₁+2（n-1）=2n-1
（Ⅱ） b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
T_n=

1

4

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

4

（1-

1

2n+1

）
=

2n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式求解，裂項(xiàng)求和法，考查轉(zhuǎn)化，計(jì)算能力．