Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 底面， ， ， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 在上，且．

（1）求證： 平面；

（2）在線段上上是否存在點(diǎn)，使二面角

的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析; （2）見解析.

【解析】試題分析：第（1）問證明平面，基本思路是證明平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設(shè)條件給出的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；第（2）問應(yīng)抓住兩點(diǎn)找到問題的求解方向：一是點(diǎn)的預(yù)設(shè)位置，二是二面角的位置．涉及空間二面角的問題，可以從兩個(gè)不同的方法上得到求解，即常規(guī)法和向量法

試題解析：

（1）由， ，

是的中點(diǎn)，得．

因?yàn)?/span>底面，所以．

在中， ，所以．

因此，又因?yàn)?/span>，

所以，

則，即． 因?yàn)?/span>底面，所以，又，

所以底面，則．

又，所以平面．

（2）方法一：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，并設(shè)．

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

又由， ，得平

面．

作交于點(diǎn)，連結(jié)，則．

于是為二面角的平面角，

即，由此可得．

由，得，于是有， ．

在中， ，即，解得．

于是滿足條件的點(diǎn)存在，且．

（2）方法二：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，并設(shè)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 為， ， 軸建立空間直線坐標(biāo)系 ，則， ， ，

．由得．

所以， ， ．

設(shè)平面的法向量為，則

，即，取，得， ，即．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．由二面角的大小為，得，化簡(jiǎn)得，又，求得． 于是滿足條件的點(diǎn)存在，且．

點(diǎn)晴：本題考查的是線面垂直的證明和二面角的求解.第（1）問證明平面，基本思路是證明平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設(shè)條件給出的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；第（2）問應(yīng)抓住兩點(diǎn)找到問題的求解方向：一是點(diǎn)的預(yù)設(shè)位置，二是二面角的位置．涉及空間二面角的問題，可以從兩個(gè)不同的方法上得到求解，即常規(guī)法和向量法