Question

【題目】以邊長(zhǎng)為4的等比三角形的頂點(diǎn)以及邊的中點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)的橢圓過(guò)兩點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證直線與的交點(diǎn)在一條直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）先建立直角坐標(biāo)系，使橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，則

（2）研究圓錐曲線的定值問(wèn)題，一般方法為以算代證，即先求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，再確定交點(diǎn)所在定直線：由對(duì)稱性可知兩直線交點(diǎn)必在垂直于x軸的直線上，因此運(yùn)算目標(biāo)為求交點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，設(shè)的方程為， ，則： ， ： ，消去y得，再利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得， ，代入化簡(jiǎn)得

試題解析：（1） 由題意可知兩焦點(diǎn)為與，且，因此橢圓的方程為. （4分）

（2） ① 當(dāng)不與軸重合時(shí)，

設(shè)的方程為，且，

聯(lián)立橢圓與直線 消去可得，即，

設(shè)，

則： ①

： ②

②-①得

則，即.

②當(dāng)與軸重合時(shí)，即的方程為，即， .

即： ①

： ②

聯(lián)立①和②消去可得.

綜上與的交點(diǎn)在直線上.