Question

由于當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從湖口中學(xué)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）如圖：
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0，則稱為“good sight”，求校醫(yī)從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有2人是“good sight”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選4人，記ξ表示抽到“good sight”學(xué)生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：莖葉圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)所給的莖葉圖以及眾數(shù)和中位數(shù)的概念，得出眾數(shù)與中位數(shù)；
（2）由題意知這是一個(gè)古典概型，且至多有2人是“good sight”的對(duì)立事件是3人都是“good sight”，從而求出所求概率；
（3）從該校任選4人，記ξ表示抽到是“good sight”的可能取值是0、1、2、3，4，求出變量對(duì)應(yīng)事件的概率，寫(xiě)出分布列和期望．

解答： 解：（1）根據(jù)莖葉圖知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4.6和4.7，中位數(shù)是

4.7+4.8

2

=4.75；
（2）根據(jù)題意，從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有2人是“good sight”的對(duì)立事件是3人都是“good sight”，
∴至多有2人是“good sight”的概率是P（A）=1-

C 3 4

C 3 16

=1-

1

140

=

139

140

；
（3）根據(jù)題意，ξ的可能的取值為0，1，2，3，4，
∴P（ξ=0）=(

3

4

)4=

81

256

，P（ξ=1）=

C

1 4

×

1

4

×(

3

4

)3=

27

64

，P（ξ=2）=

C

2 4

×(

1

4

)2×(

3

4

)2=

54

256

，P（ξ=3）=

C

3 4

×(

1

4

)3×

3

4

=

3

64

，P（ξ=4）=(

1

4

)4=

1

256

；
∴ξ的分布列是；

ξ	0	1	2	3	4
p（ξ）	81 256	27 64	54 256	3 64	1 256

ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

54

256

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，古典概型的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確這些概念和計(jì)算公式，是綜合題目．