已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線x=4交x軸于點(diǎn)K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求證：k1+k2=0．
（1）直線l的方程是y=x-1，代入橢圓方程整理得：7x2-8x-8=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8
7
，x1x2=-
8
7
．…2分
|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
2
•
(
8
7
)2+
32
7
=
24
7
．…5分
（2）證明：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性易知k1+k2=0；…6分
當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程是：y=k（x-1）代入橢圓方程整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，易知其判別式△＞0恒成立，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
．…9分
而K（4，0）
則k1+k2=
y1
x1-4
+
y2
x2-4
=
x1y2+y1x2-4(y1+y2)
(x1-4)(x2-4)
=
k[2x1xx-5(x1+x2)+8]
(x1-4)(x2-4)
=0
即k1+k2=0
綜上總有k1+k2=0．…13分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過Q點(diǎn)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求實(shí)數(shù)m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l過點(diǎn)M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)m=-1時(shí)，MN中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m=-4時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)p坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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