Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=log₂a_n，T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由數列遞推式可得a_n+1=2a_n．再由2a₁-S₁=2知a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，由此可知{a_n}的通項公式；
（2）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=log₂a_n求得b_n，再把a_n，b_n代入T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$，利用錯位相減法求和．

解答 解：（1）∵S_n+2=2a_n，∴S_n+1+2=2a_n+1，
兩式相減得（S_n+1-S_n）=2a_n+1-2a_n，∴a_n+1=2a_n．
又n=1時，2a₁-S₁=2，∴a₁=2，
∴{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴T_n=$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
則$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=2-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．