Question

選修4-5（不等式選講）
（Ⅰ）求函數(shù)y=3

x-5

+4

6-x

的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求證：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用柯西不等式，即可求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）利用作差法，再進行配方，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，由柯西不等式得：（3

x-5

+4

6-x

）²≤（3²+4²）（x-5+6-x）=25
∴3

x-5

+4

6-x

≤5
∴函數(shù)y=3

x-5

+4

6-x

的最大值為5；
（Ⅱ）證明：a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）=（a²+b²）²-4ab（a²+b²）+4a²b²=（a²+b²-2ab）²=（a-b）⁴
∵a≠b，∴（a-b）⁴＞0
∴a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）

點評：本題主要考查運用柯西不等式求最值，考查作差法證明不等式，屬于中檔題．