Question

已知如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（側(cè)棱垂直底面內(nèi)所有直線的棱柱叫做
直棱柱），AA₁=

2

，AB=BC=1，∠ABC=90°，E、F分別是A₁B₁、A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求線段A₁C的大小；
（2）求異面直線A₁C與EF所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)幾何性質(zhì)，得出四邊形AA₁C₁C為正方形，即可求解，（2）根據(jù)直線的平行得出∠A₁CB為異面直線A₁C與EF所成的角，求出邊長(zhǎng)，利用直角三角形即可求解．

解答： 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁=

2

，AB=BC=1，∠ABC=90°，
∴可知四邊形AA₁C₁C為正方形，AB=

2

，
∴A₁C=

2+2

=2，
（2）∵E、F分別是A₁B₁、A₁C₁的中點(diǎn)，
∴EF∥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，
∴∠A₁CB為異面直線A₁C與EF所成的角，
△∴A₁CB中，AA₁=

2

，A₁B=

3

，BC=1，
A₁C=2，
∴可判斷為直角三角形，
sin∠A₁CB=

A1B

A1C

=

3

2

，
∴∠A₁CB為60°
故異面直線A₁C與EF所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，運(yùn)用求解線段的長(zhǎng)度，夾角，屬于計(jì)算題，難度不大．