(文科)在四棱錐S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是線段AD上一點(diǎn),AE=ED=
3
,SE⊥AD.
(Ⅰ)證明:平面SBE⊥平面SEC;
(Ⅱ)若SE=1,求三棱錐E-SBC的高.
分析:(Ⅰ)由平面SAD⊥平面ABCD,知SE⊥平面ABCD,所以SE⊥BE,由四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AE=AB,DE=DC,知△EAB,△EDC都是等腰直角三角形,所以BE⊥CE,由此能夠證明平面SBE⊥平面SEC.
(Ⅱ)由題設(shè)條件求出VS-CBE=
2
3
3
,設(shè)三棱錐E-SBC的高為h,由三棱錐E-SBC與三棱錐S-CBE的體積相等,能求出三棱錐E-SBC的高.
解答:(Ⅰ)證明:∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE?平面SAD,SE⊥AD
∴SE⊥平面ABCD,(1分)
∵BE?平面ABCD,∴SE⊥BE.(2分)
∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AE=
3
AB=
3
,DC=
3
DE=3,
∴△EAB∽△EDC,
∴∠AEB+∠CEF=90°,∠BEC=90°,BE⊥CE.(4分)
∵SE?平面SEC,CE?平面SEC,SE∩CE=E,
∴BE⊥平面SEC,
∵BE?平面SBE,∴平面SBE⊥平面SEC.
(Ⅱ)∵AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED=
3
,SE⊥AD,
∴BE=
1+3
=2,CE=
9+3
=2
3
,
SB=
4+1
=
5
,SC=
12+1
=
13
,BC=
(2
3
)2+(3-1)2
=4,
∴cos∠SBC=
5+16-13
2
5
16
=
5
5
,
∴sin∠SBC=
2
5
5

∴S△SBC=
1
2
×
5
×4×
2
5
5
=4,(8分)
∵SE=1,∴VS-CBE=
1
3
×SE×
1
2
×BE×CE
=
1
3
×1×
1
2
×2×2
3
=
2
3
3
,(10分)
設(shè)三棱錐E-SBC的高為h,
∵三棱錐E-SBC與三棱錐S-CBE的體積相等,
1
3
hS△SBC
=
2
3
3
,即
4
3
h=
2
3
3
,
∴h=
3
2

故三棱錐E-SBC的高為
3
2
.(12分)
點(diǎn)評:本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定定理,線面垂直的性質(zhì)定理以及棱錐的體積公式等,涉及到的知識較多,綜合性很強(qiáng),對答題者根據(jù)題設(shè)條件及要解決的問題進(jìn)行知識的重新組合、靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高.
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(文科)在四棱錐S-ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是線段AD上一點(diǎn),AE=ED=,SE⊥AD.
(Ⅰ)證明:平面SBE⊥平面SEC;
(Ⅱ)若SE=1,求三棱錐E-SBC的高.

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