Question

（文科）在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE=ED=，SE⊥AD．
（Ⅰ）證明：平面SBE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求三棱錐E-SBC的高．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，知△EAB，△EDC都是等腰直角三角形，所以BE⊥CE，由此能夠證明平面SBE⊥平面SEC．
（Ⅱ）由題設(shè)條件求出V_S-CBE=，設(shè)三棱錐E-SBC的高為h，由三棱錐E-SBC與三棱錐S-CBE的體積相等，能求出三棱錐E-SBC的高．
解答：（Ⅰ）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD
∴SE⊥平面ABCD，（1分）
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．（2分）
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，
∴△EAB，△EDC都是等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠CEF=45°，∠BEC=90°，BE⊥CE．（4分）
∵SE?平面SEC，CE?平面SEC，SE∩CE=E，
∴BE⊥平面SEC，
∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．
（Ⅱ）∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=，SE⊥AD，
∴BE==2，CE==2，
SB=，SC==，BC==4，
∴cos∠SBC==，
∴sin∠SBC=，
∴S_△SBC==4，（8分）
∵SE=1，∴V_S-CBE===，（10分）
設(shè)三棱錐E-SBC的高為h，
∵三棱錐E-SBC與三棱錐S-CBE的體積相等，
∴=，即，
∴h=．
故三棱錐E-SBC的高為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理以及棱錐的體積公式等，涉及到的知識(shí)較多，綜合性很強(qiáng)，對(duì)答題者根據(jù)題設(shè)條件及要解決的問題進(jìn)行知識(shí)的重新組合、靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高．