Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n與a_n滿足關(guān)系式：nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊）
（1）若a₁=0，求a₂，a₃的值；（2）求證：a₁=0是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

（1）由 nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2  （*）
變形為n（S_n+1-S_n）=2S_n+a_n+2，而S_n是{a_n}前n項和，于是有na_n+1=2S_n+a_n+2，a₁=0，
在n=1，a₂=2a₁+a₁+2=2，則a₂=2，在n=2，2a₃=2（a₁+a₂）+a₂+2=4+4=8，則a₃=4
（2）充分性：由（1）可猜測到：a_n=2n-2．下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=2n-2
①在n=1時，a₁=2×1-2=0 與已知 a₁=0一致 故n=1時，a_n=2n-2成立．
②假設(shè)n=k時，a_n=2n-2成立，
∴S_k=a₁+a₂+…+a_k=0+2+4+…+（2k-1）=k（k-1）
∵（*）式 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，則ka_n+1=2S_k+a_k+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k²
∴a_k+1=2k=2[（k+1）-1]
故n=k+1時，a_n=2n-2成立，綜合①②可知：a_n=2n-2成立對n∈N*恒成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項為a_n=2n-1，∴a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N₊）
由等差數(shù)列定義可知{a_n}是等差數(shù)列，從而充分性得證．
必要性：由（1）可知 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，則（n-1）a_n=2S_n-1+a_n-1+2（n≥2）（**）
若{a_n}是等差數(shù)列，則a_n-a_n-1=d（n≥2），且a_n=a₁+（n-1）d．代入（**） 式中有：
n（a_n+1-a_n）=2a_n-a_n-1∴nd=a_n+d=a₁+（n-1）d+d∴a₁=0 從而必要性得證．
因此a₁=0 是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充分條件．