【題目】已知橢圓的右焦點為,且點在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓的兩條切線,切點分別為不在坐標軸上),若直線x軸,y軸上的截距分別為,證明:為定值;

(3)若是橢圓上不同兩點,軸,圓E,且橢圓上任意一點都不在圓E內(nèi),則稱圓E為該橢圓的一個內(nèi)切圓,試問:橢圓是否存在過焦點F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3).

【解析】

(1)由焦點坐標確定出c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出ab的方程,再將P點坐標代入橢圓方程列出關(guān)于ab的方程,聯(lián)立求出ab的值,確定出橢圓方程即可.

(2)由題意:確定出C1的方程,設(shè)點Px1,y1),Mx2,y2),Nx3,y3),根據(jù)M,N不在坐標軸上,得到直線PM與直線OM斜率乘積為﹣1,確定出直線PM的方程,同理可得直線PN的方程,進而確定出直線MN方程,求出直線MNx軸,y軸截距mn,即可確定出所求式子的值為定值.

(3)依題意可得符合要求的圓E,即為過點F,P1,P2的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合,橢圓上的點到圓E距離的最小值是|P1E|,結(jié)合圖形可得圓心E在線段P1P2上,半徑最。钟捎邳cF已知,即可求得結(jié)論.

(1)∵橢圓C的右焦點為F(1,0),且點P(1,)在橢圓C上;

,解得a=2,b

∴橢圓C的標準方程為

(2)由題意:C1,

設(shè)點Px1,y1),Mx2,y2),Nx3,y3),

M,N不在坐標軸上,∴kPM=﹣=﹣

∴直線PM的方程為yy2=﹣xx2),

化簡得:x2x+y2y,①,

同理可得直線PN的方程為x3x+y3y,②,

P點的坐標代入①、②得,

∴直線MN的方程為x1x+y1y,

y=0,得m,令x=0得n,

x1y1,

又點P在橢圓C1上,

∴(2+3(2=4,

為定值.

(3)由橢圓的對稱性,可以設(shè)P1m,n),P2m,﹣n),點Ex軸上,設(shè)點Et,0),

則圓E的方程為:(xt2+y2=(mt2+n2,

由內(nèi)切圓定義知道,橢圓上的點到點E距離的最小值是|P1E|,

設(shè)點Mx,y)是橢圓C上任意一點,則|ME|2=(xt2+y2,

當(dāng)xm時,|ME|2最小,∴m=﹣,③,

又圓E過點F,∴(﹣2=(mt2+n2,④

P1在橢圓上,∴,⑤

由③④⑤,解得:t=﹣t=﹣

t=﹣時,m=﹣<﹣2,不合題意,

綜上:橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓,點E的坐標是(﹣,0).

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