Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形，底面平行四邊形ABCD⊥平面PAD，且PA=2

3

，AB=4，BD=2
（1）若點(diǎn)E為PD邊中點(diǎn)，試判斷直線AE是否平行平面PBC，若平行給出證明，不平行說明理由；
（2）求平面PCD與平面PBC所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）直線AE是不平行平面PBC．以DA，DB，過D垂直于平面ABCD的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線AE是不平行平面PBC．
（2）分別求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出平面PCD與平面PBC所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）直線AE是不平行平面PBC．
理由如下：
取AD中點(diǎn)F，連結(jié)PF，過F作直線FQ∥AB，交BC于Q，
∵△PAD為正三角形，∴PF⊥AD，
∵面PAD⊥⊥面ABCD，交線為AD，∴PF⊥平面ABCD，
∵AB=4，AP=AD=2

3

，BD=2，
∴AD⊥BD，以D為原點(diǎn)，
以DA，DB，過D垂直于平面ABCD的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∴A（2

3

，0，0），P（

3

，0，3），
D（0，0，0），C（-2

3

，2，0）
∵E為PD中點(diǎn)，∴E（

3

2

，0，

3

2

），B（0，2，0），
∴

PB

=（-

3

，2，-3），

PC

=（-3

3

，2，-3），

AE

=（-

3 3

2

，0，

3

2

），
設(shè)平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • PB =- 3 x+2y-3z=0 m • PC =-3 3 x+2y-3z=0

，
取y=3，得

m

=（0，3，2），
∵

m

•

AE

=3，∴直線AE是不平行平面PBC．
（2）∵平面PBC的法向量

m

=（0，3，2），
設(shè)平面PCD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
∵

PC

=（-3

3

，2，-3），

PD

=（-

3

，0，-3），
∴

n • pC =-3 3 x1+2y1-3z1=0 n • PD =- 3 x1-3z1=0

，
取x1=

3

，得

n

=（

3

，3，-1），
設(shè)平面PCD與平面PBC所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

| m • n |

| m |•| n |

|=

7

13

，
∴sinθ=

1-( 7 13 )2

=

2 30

13

．
∴平面PCD與平面PBC所成二面角的正弦值是

2 30

13

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面是否垂直的判斷與證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．