【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)在上的最小值小于.

【答案】(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞増(2)見解析

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接求導(dǎo)，再利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性. (2)第（2）問，對a分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)求出求每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而證明函數(shù)在上的最小值小于.

試題解析：

（1）由題可得，

設(shè)，則，

所以當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

所以，因?yàn)?/span>，所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞増.

（2）由（1）知在上單調(diào)遞増，

因?yàn)?/span>，所以，

所以存在，使得，即，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞増，所以當(dāng)時(shí)

，

令，則恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

所以，即當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)在上的最小值小于.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值.

（Ⅱ）若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間有5名工人其中初級工2人，中級工2人，高級工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名．

Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級工的概率；

Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】省環(huán)保廳對、、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè)，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示：

城

城

城

優(yōu)（個(gè)）

28

良（個(gè)）

32

30

已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)，恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

（1）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析，求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；

（2）已知， ，求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓與圓的4個(gè)交點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)， 為橢圓上與不重合的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點(diǎn)，使得直線恒過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測考試，并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績；（精確到個(gè)位）

（2）研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布（， 約為19.3）.

按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占，據(jù)此估計(jì)本次檢測成績達(dá)到升一本的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分？（精確到個(gè)位）

已知市理科考生約有1000名，某理科學(xué)生此次檢測數(shù)學(xué)成績?yōu)?07分，則該學(xué)生全市排名大約是多少名？

（說明： 表示的概率， 用來將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求時(shí)的概率，這里.相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數(shù)據(jù)： ， ， ）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（2）若， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)， 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：直線、的斜率之積為-；

（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為4，M為底面ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PM與平面所成的角為，直線PD與平面所成的角為若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為______．

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