Question

設(shè)m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2-x）n-8≥0對(duì)任意x∈[-4，2]都成立，則

m2+n2

mn

取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將y整理成x的一次函數(shù)的形式，得到滿足m，n的可行域，從而求出

n

m

的范圍，進(jìn)而得到代數(shù)式

m2+n2

mn

的范圍．

解答： 解：解：設(shè)y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
當(dāng)2m-n＞0時(shí)，因?yàn)閤∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
當(dāng)2m-n＜0時(shí)，因?yàn)閤∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0對(duì)任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n滿足

-8m+6n-8≥0 2m-n＞0 n≤6

或

2m-n＜0 4m-8≥0 n≤6

，
可行域如圖或
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=6時(shí)，(

n

m

)max=3，∴0＜

n

m

≤3，
令y=

m2+n2

mn

=

n

m

+

m

n

，
令

n

m

=x，∴y=x+

1

x

，（0＜x≤3），
∴2≤y≤

10

3

，
故答案為：[2，

10

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的解法，考查了線性規(guī)劃問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．