Question

已知正四面體ABCD的各棱長為a，
（1）求正四面體ABCD的表面積；
（2）求正四面體ABCD外接球的半徑R與內(nèi)切球的體積V_內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）正四面體ABCD的表面積等于其四個面的面積之和，且每一個面都是正三角形，利用正三角形的面積公式求解即可；
（2）將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線，根據(jù)正四面體ABCD外接球與內(nèi)切球，畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的即可．

解答：解：（1）∵正四面體ABCD的各棱長為a，
∴正四面體ABCD的表面積=4×

3

4

a2=

3

a2．
（2）將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線，
∵正四面體ABCD的棱長為a，
∴正方體的棱長為

2

2

a，
正四面體的外接球，就是以正四面體的棱為面對角線的正方體的外接球，
球的直徑就是正方體的對角線的長，所以正方體的對角線為2R，
∵正方體的棱長為

2

2

a，所以

3

×

2

2

a=2R，
∴R=

6

4

a．
正四面體ABCD外接球與內(nèi)切球的兩球球心重合，設(shè)為O． 
設(shè)DO的延長線與底面ABC的交點為E，則DE為正四面體的高，DE⊥底面ABC，
且DO=R，OE=r，OE=正四面體PABC內(nèi)切球的半徑．
設(shè)正四面體ABCD底面面積為S． 
將球心O與四面體的4個頂點全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V₁=

1

3

•S•r 而正四面體體積V₂=

1

3

•S•（R+r）
從而有，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•（R+r），
所以，

r

R

=

1

3

．
∴正四面體內(nèi)切球的半徑r=

1

3

×

6

4

a=

6

12

a．
∴內(nèi)切球的體積V_內(nèi)=

4

3

πr³=

4

3

π×(

6

12

)3a³=

6

216

πa3．

點評：本題考查球的表面積公式解題的關(guān)鍵是將正四面體ABCD，補成正方體，使得球O是正方體的外接球．