若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式[f(x1)+f(x2)]≤f()成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的凸函數(shù);

(1)證明定義在R上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函數(shù);

(2)對于(1)中的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值時函數(shù)y=f(x)的解析式.

思路解析:本題是閱讀理解題目,根據(jù)題意對凸函數(shù)的定義進行變形證明,在求函數(shù)解析式是要想辦法用f(1)、f(2)和f(3)表示f(4),從而求出f(4)的最大值,這樣把不等關系轉化為相等關系求出待定系數(shù).

證明:(1)任取x1,x2R,則

2f()-[f(x1)+f(x2)]

=2[a()2+b+c]-[ax12+bx1+c]-[ax22+bx2+c]

=[(x1+x2)2-2(x12+x22)]=-(x1-x2)2.

∵a<0,

∴2f()-[f(x1)+f(x2)]≥0.

[f(x1)+f(x2)]≤f().

∴由定義得y=f(x)是R上的凸函數(shù).

(2)∵

又∵|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|.

又∵|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3.

∴|f(4)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|≤16.

∴當且僅當時取等號,代入上式得

∴f(x)=-4x2+15x-12.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x>0)
,
(Ⅰ) 若f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x>0)
,
(Ⅰ) 若f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省高考猜押題卷文科數(shù)學(二)解析版 題型:解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)請研究函數(shù)的單調性;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立,則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函

 

數(shù)的最小值為,試判斷函數(shù)是否為“凹函數(shù)”,并對你的判斷加以證明.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年廣東省韶關市田家炳中學、乳源高級中學聯(lián)考高二(下)期中數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),
(Ⅰ) 若f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.

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科目:高中數(shù)學 來源:2007-2008學年廣東省華南師大附中高三綜合測試數(shù)學試卷3(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),
(Ⅰ) 若f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.

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