Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx+

(m-1)(x2-1)

x

（m∈R）
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，e]上的最大值和最小值
（2）若x≥1，函數(shù)f（x）≤0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，e]上單調(diào)遞增，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，e]上的最大值和最小值
（2）若x≥1，函數(shù)f（x）≤0恒成立，等價(jià)于m-1≤

2xlnx

1-x2

，求出

2xlnx

1-x2

＜0，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=2lnx+x-

1

x

，
∴f′（x）=

2

x

+1+

1

x2

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，e]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，e]上的最大值為2+e-

1

e

，最小值為-2ln2-

3

2

；
（2）x≥1，2lnx+

(m-1)(x2-1)

x

≤0等價(jià)于m-1≤

2xlnx

1-x2

，
設(shè)y=2xlnx，則y′=-2lnx-2，
∵x≥1，∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而g（x）=

2xlnx

1-x2

在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜0，
∴m-1≤0，
∴m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．